如果所有特徵根都不相等，絕對可以對角化，有等根，只需要等根（也就是重特徵值）對應的那幾個特徵向量是線性無關的，那麼也可以對角化，如果不是,那麼就不能了。
矩陣於電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；電腦科學中，三維動畫製作也需要用到矩陣。矩陣的運算是數值分析領域的重要問題。
將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準對角矩陣，有特定的快速運算演算法。
矩陣在物理學中的另一類泛應用是描述線性耦合調和系統。這類系統的運動方程可以用矩陣的形式來表示。
用力矩陣乘以位移向量來刻畫相互作用。求系統的解的最優方法是將矩陣的特徵向量求出（通過對角化等方式）。
這種求解方式在研究分子內部動力學模式時十分重要：系統內部由化學鍵結合的原子的振動可以表示成簡正振動模式的疊加。描述力學振動或電路振盪時，也需要使用簡正模式求解。
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